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**化是一门应用性强且发展十分迅速的新兴学科。本书旨在系统介绍近代优化基本理论，主要研究线性规划和二次规划、二次约束二次规划等基本问题及其对偶模型，特别强调Lagrange对偶方法和半定松弛技术的运用，并以大量例子展示它们的特点，充分反映**化领域**研究成果。除预备知识外，本书主要内容包括凸分析基础、线性规划、二次规划、**化问题及其对偶表示、线性锥优化、矩阵束和S-过程等。

目录

第1章 预备知识 1

1.1 记号和问题描述 1

1.2 连续和可微 4

1.2.1 下半连续性 5

1.2.2 可微性 6

1.3 矩阵和方程组 9

1.3.1 对称矩阵 10

1.3.2 Kronecker积 11

1.3.3 相容线性方程组 11

1.3.4 投影矩阵 13

1.4 无约束优化 13

1.5 非负约束小二乘 17

注记 20

第2章 凸分析基础 21

2.1 凸集 21

2.2 分离性 26

2.3 凸函数 28

2.4 支撑超平面 32

2.5 共轭函数 36

2.6 凸锥和对偶锥 43

注记 49

第3章 线性规划 51

3.1 多胞形 51

3.2 多面体 55

3.3 对偶线性规划 60

3.4 线性不等式组 64

3.5 自对偶模型 70

3.6 有限交性质 75

注记 79

第4章 二次规划 80

4.1 等式约束 80

4.2 标准形式 82

4.3 对偶二次规划 85

4.4 鞍点 88

4.5 线性规划的强对偶 93

注记 96

第5章 化问题及其对偶表示 97

5.1 Lagrange乘数法 97

5.2 约束品性 102

5.3 共轭对偶及其表示 108

5.3.1 二元共轭和对偶 108

5.3.2 稳定性 112

5.3.3 三类典型对偶 117

5.4 Lagrange对偶 121

5.5 性 127

5.6 对偶的几何描述 132

5.6.1 几何描述 132

5.6.2 Fenchel对偶 135

5.7 应用举例 139

5.7.1 对偶的应用 139

5.7.2 乘数法的应用 145

注记 149

第6章 线性锥优化 151

6.1 Shor松弛 151

6.2 半定规划 155

6.3 锥对偶模型 161

6.4 拟多面体 168

6.5 拟多面体的面 171

6.6 更多的代数表示 178

6.7 矩阵优化 184

6.7.1 Schur补 184

6.7.2 特征值优化 186

6.7.3 奇异值优化 189

6.8 组合优化 191

6.8.1 二次分配问题 191

6.8.2 截问题 193

6.8.3 Lovasz容量 195

6.9 小秩问题 200

6.10 鲁棒优化 204

6.10.1 鲁棒小二乘 204

6.10.2 鲁棒线性规划 206

6.10.3 鲁棒二次规划 207

注记 209

第7章 矩阵束 211

7.1 基本性质 211

7.2 S-引理 215

7.3 择一性定理 218

7.4 等价性 219

7.5 二次方程组 221

7.6 非齐次S-引理 224

注记 228

第8章 S-过程 229

8.1 连通性 229

8.2 隐藏凸性 232

8.3 齐次多约束 237

8.4 非齐次双约束 238

8.5 无损S-过程 242

8.6 二次方程组(续) 244

8.7 双边投影 247

注记 252

参考文献 253

附录A 化大事年表 257

附录B 符号和关键词索引 260

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